【数值分析】复化积分公式-白红宇

对于积分：

只要找到被积公式的原函数F(x)，利用牛顿莱普利兹公式有：

但是，实际使用这种求积分的方法往往是有困难的，因为大量的被积函数的原函数是不能用初等函数表示的；另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿莱普利兹公式也无法直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。

对于一些理论的推导，大家可以看看维基百科，下面我

主要给出牛顿-科特斯公式在n=1(梯形求积公式)、n=2（辛普森公式）的情况，并通过代码实现。

梯形公式：

辛普森公式：

应用高阶牛顿-科特斯公式计算积分时，会出现数值不稳定的情况，而低阶公式往往因为积分步长过大使得离散误差变大，因此，为了提高求积公式的精度，可以把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶求积公式，然后将结果加起来，这种方法称为复化求积法。

复化梯形公式

将区间[a,b]划分为n等分，步长为h=(b-a)/h，节点为

，在每个子区间

使用梯形公式得：

复化辛普森公式

根据复化梯形公式的推导，同理可得复化辛普森公式为：

下面我们通过实例来实现复化梯形公式和复化辛普森公式：

对于函数f(x)=sin(x)/x，试用复化梯形公式和复化辛普森公式计算函数f(x)在[0，1]上的积分。

具体的程序实现如下：

#include
     
      #include
      
       double Function(double x)//所要计算积分的函数f(x){    if(x==0)//sin(x)/x在0处的取值为1        return 1;    else        return sin(x)/x;}//复化梯形公式double Trapz(double a,double b,int n){    double h=(b-a)/n;    double T=0;    for(int i=1;i

运行结果如下图：

结果分析：

比较复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法的运行结果，我们发现复化辛普森公式与准确值0.9460831更加接近，复化梯形公式只有2位有效数字，而复化辛普森公式有6为有效数字。

原文：

作者：nineheadedbird